Énoncé
Soit le circuit ci-dessus, alimenté par un générateur de fem sans résistance interne.
Calculer le courant passant dans la résistance en fonction des composants du circuit.
Le plus rapide : regrouper et en une résistance unique et exploiter le diviseur de tension , pour exprimer la différence de potentiel aux bornes de . En déduire .
Rappel de cours :
Généralités : loi des nœuds, loi des mailles.
Les composants électriques dipolaires : lois d'association des résistors, source de tension (ou générateur idéal).
Exercice de référence sur les diviseurs de tension et de courant.
Lorsque deux résistances et sont branchées en série et que l'ensemble est relié à une source de tension , la différence de potentiel aux bornes de est (voir l'exercice de référence sur les diviseurs de tension).
En posant et la résistance équivalente à et (reliées en parallèle), on obtient facilement la différence de potentiel aux bornes de . On écrit alors .
Celle-ci se fait en trois étapes :
a) Regroupons et en une résistance unique : on obtient .
b) Notons la différence de potentiel aux bornes de : celle-ci se calcule facilement avec la relation du diviseur de tension constitué par et :
c) On écrit enfin , ce qui donne tous calculs faits
Appelons le pôle positif du générateur, son pôle négatif et le point commun aux résistances , et .
Lorsqu'un circuit alimenté en régime continu ne contient qu'un seul générateur, il est pratiquement toujours possible de prévoir le sens de passage des courants dans chacune des branches, car elles ne contiennent que des résistances (la seule exception est un circuit contenant des résistances placées en triangle). Ainsi dans le circuit proposé passe de vers dans , de vers dans et . L'expression algébrique de orienté comme sur le schéma doit conduire à un résultat positif.
Il y a trois (au moins) manières de calculer : la première, immédiate, consiste à utiliser la relation du diviseur de tension ; la seconde, moins intuitive, est d'appliquer la relation du diviseur de courant ; la troisième, longue et fastidieuse, est de mettre le circuit en équation en utilisant les lois de Kirchhoff, ou les théorème de Thévenin ou de Norton (cf chapitre III). Nous ne donnerons ici que les deux premières.
1 – Utilisation du diviseur de tension :
Il apparaît facilement si on regroupe les résistances et . Elles sont en parallèles, donc
, soit .
Le circuit peut alors être redessiné en remplaçant et par , et on applique la relation du diviseur de tension pour obtenir la différence de potentiel aux bornes de :
.
Or est aussi la différence de potentiel existant aux bornes de (et aussi de ), ce qui permet d'écrire le courant passant dans : (si on avait demandé le courant passant dans , on aurait écrit ).
On obtient ainsi, en remplaçant puis par leurs expressions :
2 – Utilisation du diviseur de courant :
Soit la conductance équivalente à et branchées en parallèle : .
On écrit alors l'expression du courant sortant du générateur (donc traversant ) :
.
Il ne reste plus qu'à appliquer la relation du diviseur de courant (voir l'exercice de référence) :
.
On retrouve sans difficulté l'expression de :