On peut maintenant étudier la cinématique du point matériel M par rapport à un référentiel R fixe, lié à l'observateur.
Le système de coordonnées doit être le plus judicieusement choisi.
Mouvement rectiligne
Fondamental :
L'hypothèse du mouvement rectiligne est remplie en imposant que le vecteur vitesse initiale
soit dans la même direction que le vecteur accélération (ici la direction
). On traitera en particulier le mouvement rectiligne uniforme
et le mouvement rectiligne uniformément accéléré (varié) où l'accélération est constante
. Les équations du mouvement sont les suivantes :
Mouvement uniformément accéléré (mouvement parabolique)
Fondamental :
Il s'agit de reprendre les équations ci-dessus dans un cas général, à savoir
et
peuvent avoir des directions différentes :
soit
soit
Exemple : Mouvement d'un projectile dans un plan sous l'action de la pesanteur
L'expression de
, avec
nous donne
Cette relation indique que seule la composante de la vitesse dirigée selon
varie en fonction du temps. Si on prend l'origine du référentiel en
, l'équation de la trajectoire
s'écrit :
Une fois les équations établies, on peut analyser le mouvement. Ainsi, le temps nécessaire pour atteindre le sommet A de la trajectoire est obtenu en posant
dans l'expression de
. Alors :
Au temps
, on peut obtenir l'expression analytique de la hauteur maximale
en calculant
grâce à l'expression de
:
Le temps de vol du projectile, c'est-à-dire la durée qu'il faut pour que le projectile arrive au sol au point B, s'obtient en posant
dans l'expression de
:
La portée est la distance OB, elle est obtenue en calculant
dans l'expression de
:
La portée est maximale pour
.
Enfin, l'équation de la trajectoire est obtenue en éliminant
dans
et
:
C'est l'équation d'une parabole.
Mouvement circulaire (uniforme et non-uniforme)
Fondamental :
La trajectoire est un cercle. Mouvement décrit naturellement en coordonnées polaires. Le rayon
est une constante (indépendante de
), l'angle
est une fonction de la variable
. En coordonnées cylindriques, oz est l'axe de rotation (voir schéma).
a) mouvement circulaire non-uniforme (cas général) :
On introduit le vecteur rotation
, dirigé dans l'exemple selon oz :
On a vu que
. Les vecteurs
et
peuvent être réécrits :
Ou bien encore :
b) mouvement circulaire uniforme :
La vitesse est constante. Comme
est constant, on obtient
. Donc,
L'accélération est dirigée vers le centre du cercle et on vérifie qu'elle est égale à
.
Mouvement à accélération centrale
Définition :
Mouvement d'un point M tel qu'à chaque instant le vecteur accélération
passe par un point fixe appelé O. Mouvement possédant des propriétés remarquables. Mathématiquement :
car
et
sont des vecteurs parallèles.
Définition : Loi des aires
On définit le vecteur « vitesse aréolaire »
par la relation :
Fondamental :
Le vecteur
est une constante du mouvement (il n'est pas fonction du temps) :
(cqfd)
Comme
est perpendiculaire à
qui possède une direction fixe,
décrit nécessairement une trajectoire plane (voir schéma).
Le système de coordonnées cylindriques dans sa base mobile est approprié à la description du mouvement :
Le module C est lié à l'élément de surface élémentaire
balayé par le vecteur
(voir schéma) en un temps
. C est constant.
est la constante de la loi des aires « la surface balayée par unité de temps est constante » :
Application : le mouvement des planètes.
