Exemple : Montage expérimental et conditions initiales
On étudie la tension
aux bornes du condensateur. Le montage respectant les masses du générateur et de l'appareil de mesure est donc celui où la masse du générateur est reliée à celle de l'oscilloscope.
Le condensateur n'est initialement pas chargé. A l'instant
, on ferme l'interrupteur
. Le générateur délivre une f.e.m constante
.
On appelle
la tension aux bornes du condensateur,
sa charge,
le courant passant dans le circuit. Les lettres minuscules désignent des grandeurs dépendant du temps.
Méthode :
a – Étude préliminaire du régime limite
La source est une fem
constante, donc
. Mais si
devient constant, c'est que le condensateur ne se charge plus : donc
. Dans ce cas, puisque la différence de potentiel aux bornes de
est nulle, la tension aux bornes du condensateur est égale à
. On en déduit sa charge finale :
.
D'où l'état électrique final du circuit :
L'évolution temporelle de
et
doit permettre de retrouver ces valeurs.
b – Mise en équation
La loi des mailles permet d'écrire :
, où
.
On en déduit l'équation différentielle :
. (1er ordre avec 2d membre).
Sous cette forme, on voit immédiatement que, pour que l'équation aux dimensions soit satisfaite, le produit
doit être homogène à un temps. On pose
, et l'équation s'écrit alors :
.
c – Résolution et graphes des fonctions obtenues
solution de l'équation sans second membre :
solution particulière : le second membre est une constante, donc on recherche
constante. L'équation complète donne immédiatement
.la solution est
, soit
. Il reste à déterminer
.conditions initiales : à
, la tension délivrée étant nulle et le condensateur déchargé,
; à
, la continuité de la charge, donc de
exige
, soit :
. On en déduit
.
Finalement :
dont on tire
